6.4 Triángulo

Porción del plano limitado por tres líneas.

Los triángulos se clasifican según sus lados y según la medida de sus angulos.

Según sus lados.

Equilátero: tiene todos sus lados iguales

Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno: tiene tres lados desiguales.

Según la medida de sus angulos:

Acutángulo: sus tres angulos son agudos.

Rectángulo: tiene un angulo recto.

Obtusángulo: tiene un angulo obtuso.

Nota: la suma interna de los angulos de un triángulo miden 180º

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

6.3.1 Clasificación de polígonos

Los polígonos se clasifican según sus lados:

6.3 Polígonos

Es una porción de plano limitado por líneas ya sea rectas o curvas.

 

6.2. Clasificación de ángulos

Los angulos se pueden clasificar según sus medidas en:

Agudo: mide menos de 90º

Recto: mide 90º

Obtuso: mide mas de 90º y menos de 180º

Llano: mide 180º

6.1 CONCEPTOS BÁSICOS

.PUNTO: es el elemento geométrico mas simple: no tiene tamaño, solo indica un sitio exacto. La idea de punto se puede entender como la marca de un lápiz bine afilado sobre una hoja de papel, los puntos se simbolizan con letras mayúsculas.

Ejemplo:

·         A

·         B

  RECTA: está formada por una subsección de puntos que se prolongan definidamente en sentidos opuestos.

La recta se simboliza usando dos de sus puntos o con letras minúsculas.

  ________________________________

 PLANO: esta conformado por infinitos puntos y se prolonga definidamente por todas las direcciones.

Ejemplo: una pared, un piso una superficie etc.

Para representar un plano se utiliza tres de sus puntos, que no estén en una misma recta, también se puede representar con letra mayúscula.

  ANGULOS: un ángulo esta formado por la unión de dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice, la semirrecta se llama lado inicial o lado final.

Los angulos se pueden simbolizar de las siguientes formas  para determinar la medida de un angulo se utiliza como instrumento el transportador, el cual tiene como unidad de medida el grado.

Ejemplo: 30⁰  60⁰

UNIDAD 6

GEOMETRÍA

TALLER

TALLER

1-    Resuelve las siguientes operaciones.

Sumar.:

1/3+3/4+6/5=

7/8+5/4+9/6

3/16+5/4+8/9+5/12

¾+ 8/4+ 5/4

2-    Restar:

9/16- 2/4

6/3- ½

12/4- 1/3-1/2

16/5-2/4-3/5

3-    Multiplicar:

7/4 x 3/5

4/6 x 3/7x 8/9

2/5 x 6/3 x 4/7

7/18 x 9/15 x 7/18

4-    División

2/6 / 3/5

9/18 / ¼ 

6/20 / 9/5

5/4 / 3 /7

5.6 División de fracciones

Para dividir fracciones se debe multiplicar la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.

Si a,b,c,d € N, entonces a/b / c/d es igual a/b x d/c.

Ejemplo:

6/5 / 2/3 

5.5 Multiplicación de Fracciones

Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador y el resultado se simplifica si es posible. 

2/3 X 4/5 X  1/7 = 4/15 

5.4 Suma y resta de fracciones homogéneas

Para sumar fracciones homogéneas se deja el mismo denominador y se suman los numeradores.

Ejemplo  de suma.

7/50+ 15/50+1000/50 = 511/25 

ejemplo de resta

100 / 20 -  18 / 20 - 5 / 20 = 77/ 12 

5.3 Suma y resta de fracciones heterogéneas

Para sumar fracciones heterogéneas se siguen los siguientes pasos.

1-    Se saca minimo común múltiplo de los denominadores.

2-    Este se divide entre cada uno de los denominadores y se multiplica por cada denominador.

3-    Se suman o se restan estos resultados entre sí.

4-    Se simplifica si es posible el resultado.

Obs.  el mínimo común múltiplo de los  denominador  es el denominador de la fracción resultante.

ejemplo  de suma :

2/4 + 1/3 + 7/6 = 6+4+14 /= 2 / 1 

ejemplo de resta

7/6 - 1/3 - 2/4 = 14- 4- 6 
                          ________
                              17 

5.2 Clases de fracciones

Las fracciones se pueden clasificar propias, impropias igual que la unidad y enteras.

Propias cuando el denominador es mayor que el numerador.

Ejemplo:

2/4 1/3

Impropias: cuando el denominador es menor que el numerador.

Ejemplo:

7/3 5/6

Igual a la unidad: cuando el numerador y el denominador son iguales

Ejemplo:

5/5 8/8

Entera: cuando el numerador es múltiplo del denominador

Ejemplo:

8/2 4/2

Cuando se comparan fracciones se pueden clasificar en homogéneas y heterogéneas y mixtas.

Homogéneas: son aquellas que tienen igual denominador

Ejemplo:

5/3 ·5/3

Heterogéneas: son aquellas que tienen diferente denominador.

Ejemplo:

8/5, 7/4

Mixto: son aquella que costa de una parte entera y otra fraccionaria.

5.1 Números fraccionarios

 Una fracción es una expresión de la forma a/b; donde a,b  € N Y B diferente(símbolo)0.

El número a se denomina numerador y el número b denominador.

El denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad y el numerador el numero de partes que se toman de la unidad.

Para representar fracciones se puede utilizar figuras geométricas. La figura se divide en tantas partes iguales como lo indique el denominador. Después se colorean las partes que señale el numerador.

EJEMPLO:

Se divide la figura en 4 partes iguales y se toma 3 asi

3/4

UNIDAD 5

NÚMEROS FRACCIONARIOS 

TALLER

TALLER

1-    Hallar el máximo común divisor de los siguientes números utilizando el conjunto de divisores de cada número.

a-    12 , 30

b-    6, 12

c-    100, 75, 50

2-    En una floristería hay 100 rosas rojas y 72 rosas amarillas para elaborar ramos. Si cada ramón debe tener la misma cantidad de rosas de cada color,¿ cuáles la mayor cantidad de rosas de cada color que debe tener cada ramo?

3-    Juan tiene que poner un guarde escoba de madera a dos paredes de 12 metros y 9 metros de longitud.  para ello, averiguo la mayor longitud del liston de madera que cabe en un numero exacto de veces en cada  pared ¿cual es la longitud de este liston?

4-    Halla el minimo cocmun múltiplo de cada grupo de números descomponiéndolos en factores primos.

a-    4,20,12

b-    6,22,55

c-    21,35,60

5-    Una lancha transporta víveres a un refugio cada 10 dias y otra, cada 8 dias. si las dos coinciden hoy ¿cuantos dias tardaran en volver a coincidir.

6-    Martin tiene una colección de billetes que puede agrupar de 6 en 6 de 8 en 8 y de 5 en 5 sin que falte ninguno. ¿ cual es el menor numero de billetes que puede tener?

7-    En una estación del metro parten buses cada 45 minutos hacia  el sur y cada 60 minutos hacia el norte  ¿ cada cuanto tiempo salen los buses hacia el sur y hacia el norte?

4.2.1 Método abreviado para hallar el MCM

También existe un método abreviado para hallar el mínimo común múltiplo de dos o mas números. Este método consiste en descomponer, simultáneamente los números en factores primos. En este caso, el mínimo común múltiplo es el producto de todos los factores que resultan en la descomposición. Es necesario tener en cuenta que para realizar la descomposición, se debe analizar la divisibilidad de los números según los criterios de divisibilidad de los números primos.

v  Ejemplo

Hallar el mínimo común múltiplo de 100, 30 y 25 utilizando el método abreviado.

El mcm  (100, 30, 25 ) = 2² x3x25²

                                     = 4x3x25 = 300

4.2 Mínimo Común Múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números  es el menor de dos múltiplos comunes diferentes de cero.

Si a,b y c son números naturales, el mínimo común múltiplo de a,b y c se simboliza mcm (a,b,c)

De la misma manera que el máximo común divisor, el mínimo común múltiplo se puede calcular de dos formas: utilizando los conjuntos de múltiplos den los números y descomponiendo en factores primos los números.

Para hallar el mínimo común múltiplo, con los conjuntos de múltiplos, se realiza el siguiente procedimiento:

v  Primero, se hallan los múltiplos de cada número.

v  Segundo, se buscan los múltiplos comunes de los conjuntos de múltiplos.

v  Tercero, se busca el menor de los múltiplos comunes hallados anteriormente.

Para hallar el minimo común múltiplo, por descomposición en factores primos, se realizan los siguientes pasos:

v   Primero, se descomponen los números en sus factores primos.

v  Segundo, se escogen los factores comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.

v  Tercero, se realiza la multiplicación de esos factores comunes. Ese es el mcm de los números.

4.1.Método abreviado para hallar el MCD

Existe un método para hallar el mcd de dos o más números que consiste en descomponer los números, de manera simultánea,  en factores primos comunes únicamente.

El máximo común divisor  será el producto de sus factores comunes.

E EJEMPLOS 

Hallar el mcd de los siguientes números: 16,12y 36

 

No se puede descomponer nuevamente a 4,3 y 9 por un mismo factor. Entonces, el mcd (16,12,36)= 2² = 4

4.1 Máximo Común Divisor

El máximo común divisor de dos o mas números es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Si a,b,y c son números naturales, el máximo común divisor de a,b y c se simboliza mcd (a,b,c).

Para hallar el máximo común divisor de dos o más números se pueden emplear dos métodos utilizando los conjuntos de divisores o descomponiendo los números en factores primos.

Para hallar el máximo común divisor, con los conjuntos de divisores, se realizan los siguientes pasos:

*        Primero, se hallan todos los divisores de cada número.

*        Segundo, se buscan los divisores comunes de los conjuntos de divisores.

*        Tercero, se busca el mayor de los divisores comunes. Este es el máximo común divisor.

 Para hallar el máximo común divisor,  descomponiendo en factores primos, se realizan    los siguientes pasos:

v   Primero, se descomponen los números en sus factores primos.

v  Segundo, se escogen los factores comunes, elevados al menor exponente,

Tercero, se realiza la multiplicación de esos factores comunes. Ese es el mcd de los 
números.

UNIDAD 4

• MÁXIMO  COMÚN DIVISOR 
• MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 

TALLER

1-    EN LA SIGUIENTE EXPRESION NOMBRE LAS PARTES DE DICHA POTENCIA

 aⁿ= b

2-    HALLAR LAS SIGUIENTES POTENCIAS

2⁷

5⁴

8⁶

9³

3-    EN LA SIGUIENTE EXPRESION NOMBRE LAS PARTES DE LA RADICACION.

ⁿ √b= a

4-    HALLE LA RAIZ CUADRADA EN CADA CASO

·          ³√64

·         ³ √343

·         √165

·          √144

·         √145

5-    ESCRIBE EN FORMA DE POTENCIA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.

6X6X6=

8X8X8X8=

29X29X29X29X29=

52X52X52X52X52X52=

6-    EN UN BARRIO A 7 CALLES, EN CADA CALLE 7 CASAS; EN CADA CASA HA 7 HABITACIONES, EN CADA HABITACION 7 ARMARIOS Y EN CADA ARMARIO HAY 7 CAJONES

 ¿CUANTOS CAJONES HAY EN TOTAL EN EL BARRIO?

7-    EXPRESA COMO LOGARITMOS LAS SIGUIENTES POTENCIAS:

7³ = 343

5² = 25

8³ = 512

5³ = 125

8-    EXPRESA COMO POTENCIA LOS SIGUIENTES LOGARITMOS

LOG₉ 729= 3

LOG₈  64 = 2

LOG 10.000 = 5

LOG₇ 16.807 = 5

9-    ESCRIBE EL NUMERO QUE CORRESPONDE EN CADA CASILLA

1^-----  = 1

2--- = 8

2--- = 64

9--- = 729

10- HALLE EL RESULTADO DE CADA OPERACIÓN APLICADO LA PROPIEDAD DEL LOGARITMOS.

LOG₃ (81/27)

LOG₆ (36X36)

LOG₂ (64 /8)

3.7.4 EL CERO Y EL UNO EN LA LOGARITMACIÓN

Cuando los diferentes términos de un logaritmo están relacionados con los números 0 y 1 se determinan las siguientes propiedades:

• ·         El logaritmo de 1 en cualquier base, es 0. Asi, log_x 1=0
• ·         El logaritmo en base x de x es 1 Asi   log_x  X = 1
• ·         El logaritmo de 0 o en cualquier base, no esta definido.

3.7.3 LOGARITMO DE UNA POTENCIA.

El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. Esto 

es,  log_x  aⁿ = n x log_x a.

Por ejemplo, log₂ 4³ = 3x log₂ 4=3x2=6 

3.7.2 LOGARITMO DE UN COCIENTE

El  logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividiendo y el divisor.

 Esto es  log_x (a/b) = log_x a-  log_x b.

Por ejemplo, log₂ ( 32 / 8 ) = log₂   32- log₂ 8 = 5-3 = 2

3.7.1 LOGARITMO DE UN PRODUCTO.

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de cada uno de los factores. 

Esto es, log_x (axb) = log_x a+ log_x b.

Por ejemplo, log₂  (8x32) = log₂  8+ log₂   32 = 3 +5 = 8

3.7 LOGARITMACIÓN EN LOS NATURALES

La logaritmación en el conjunto de los números naturales, cumple con las siguientes  propiedades.

3.6.1.3 El cero y el uno en la radicación

cuando la cantidad subradical de una raíz indicada está relacionada con los números 0 y 1 se  determinan las siguientes propiedades:

• La raíz n énsima de 1, da como resultado  1. Asi  ⁿ√1 = 1
•  La raíz n énsima de 0, da como resultado  0. Asi  ⁿ√0 = 0

3.6.1.2 Raíz n- ésima de un cociente.

 La raíz n- ensima de un cociente es igual al cociente de las raíces   n – ésima  de cada uno de los factores. 

esto es.

a/b= ^m √a/ ^m √b

por ejemplo, ³√1.000/ 125 = ³ √1.000/ ³ √125 = 10/5 = 2 

3.6.1.1 Raíz n- ésima de un producto

La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n- ésimas  de cada uno de las factores. 

Esto es

⁴√axb= ^m√ax ^m√b

 por ejemplo, ⁴ √81x16 = ⁴√81 x ⁴√16 = 3x2=6

3.6.1 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

La radicación en el conjunto de los números naturales, cumple con las siguientes propiedades:

• Raiz n- ésima de un producto. 
• Raiz n- ésima de un cociente. 

3.6 RADICACIÓN:

La radicación es la operación inversa a la potenciación, en la, conocidos el exponente y la potencia se debe hallar la base. El signo de la radicación es: √ Y recibe el nombre de signo radical.

En general,

Si a,b,n ∈ N y n >, 1 entonces ⁿ√b = a si y solo si a√ⁿ = b,

 y se lee la raíz n- esima de b es a.

por ejemplo si 3⁵ = 243 entonces,  5√243 es 3. y se lee raíz quinta de 243 es 3.

En la expresión , n√b= a, n  recibe el nombre de índice, b de cantidad subradical o radicando y a de raíz n- esima.

Por ejemplo en la expresión 4 √ 16= 2

Algunas raíces reciben nombres especiales. Así:

Las raíces de índice 2, se llaman raíces cuadradas y, a diferencia de los demás casos, en este tipo de raíces no se escribe el índice. Por ejemplo,

      100 = 10 se lee, la raíz cuadrada de 100 es 10

      64 = 8 se lee, la raíz cuadrada de 64 es 8

La raíces de índice 3, se llaman raíces cubicas. Por ejemplo, 

³√27 = 3 Se lee, la raíz cúbica de 27 es 3

³ √64 = 4 se lee, la raíz cúbica de 64 es 4

 Para extraer la raíz exacta de un número natural, se busca un número tal que elevado al índice d la raíz, dé como resultado la cantidad subradical o radicando.

Por ejemplo: ⁴√16 = 2 pues 2⁴  = 16